E = mc2
Annibale D'Ercole
Osservatorio Astronomico - Bologna

Per affrontare la derivazione della formula E = mc2, è necessario prima accennare al classico fenomeno astronomico dell’aberrazione della luce.

Questo fenomeno può essere facilmente compreso grazie a una esperienza alquanto comune nella vita quotidiana. Supponiamo di trovarci fermi, in piedi, sotto la pioggia. In una giornata senza vento, le gocce d’acqua cadono con velocità c, seguendo traiettorie verticali e, per ripararci, noi dobbiamo tenere l’ombrello esattamente sopra la nostra testa, con il bastone anch’esso in posizione verticale. Se cominciamo a camminare con velocità -v, andiamo incontro alla pioggia la quale ci apparirà ora avere due componenti di velocità, una verticale c e una orizzontale v (infatti, nel sistema di riferimento che si muove con noi con velocità –v rispetto al precedente, noi siamo fermi e la pioggia acquista una velocità orizzontale v verso di noi). Di conseguenza, le gocce d’acqua ci appaiono cadere lungo traiettorie oblique e noi dobbiamo effettivamente tenere l’ombrello inclinato in avanti, se vogliamo ripararci al meglio. Questo effetto aumenta all’aumentare di v. Quando ci muoviamo in macchina in una notte piovosa, la pioggia illuminata dai nostri fari sembra provenire da zone di cielo assai più avanti rispetto a noi.

 

 

Fig. 1. Nel pannello superiore è mostrato un osservatore che si muove con velocità v, sotto la pioggia che cade verticalmente con velocità c. Nel pannello inferiore, la stessa scena è mostrata come appare in un sistema di riferimento che si muove con l’osservatore. In questo riferimento, l’osservatore è fermo e la pioggia acquista una componente orizzontale di velocità v e la sua traiettoria appare inclinata di un angolo α rispetto alla verticale.

 

L’effetto appena descritto vale anche per i raggi luminosi. Se una stella si trova allo zenit, ossia proprio sopra di noi, i suoi raggi luminosi dovrebbero apparire perfettamente verticali e anche il tubo del telescopio dovrebbe essere posizionato verticalmente per inquadrare la stella. Dal momento, però, che la Terra si muove, i raggi luminosi risultano obliqui. La stella appare pertanto spostata in avanti (cioè nella direzione del moto della Terra) e anche il telescopio deve essere inclinato, se vogliamo inquadrare la stella. Dal momento che la velocità della luce c (≈ 300000 km/s) è molto superiore a quella della Terra v (≈ 30 km/s), in base alla trigonometria elementare l’angolo di inclinazione (si veda la fig. 1) può essere scritto come α ≈ tan(α) = v/c (quando l’angolo è molto piccolo il suo valore è simile a quello della sua tangente trigonometrica). Il valore massimo di questo angolo è dell’ordine di 20 secondi d’arco.

Il lettore che ha avuto la pazienza di seguirci fin qui si chiederà cosa c’entri tutto quello che abbiamo detto finora con l’equivalenza tra massa ed energia, che rimane l’argomento di discussione di questa nota. In effetti, è una caratteristica del genio di Einstein quella di dimostrare cose straordinarie tramite esperimenti mentali all’apparenza banali e scollegati dall’argomento che si vuol trattare. Quella che segue è l’ultima delle varie dimostrazioni che Einstein ha dato della sua celebre formula.

Supponiamo di avere un oggetto di massa M, ad esempio un libro, posto in quiete al centro tra due lampadine i cui raggi luminosi colpiscono il libro stesso. I fotoni emessi dalle lampadine hanno ognuno energia 0.5E, sicché, ogni volta che il libro è colpito (simultaneamente) da due fotoni, si scalda aumentando la sua energia di una quantità E. Già da moltissimo tempo gli astronomi sono a conoscenza del fatto che la luce esercita una pressione; le code delle comete si pongono sempre in direzione opposta a quella del Sole, proprio perché sono “soffiate via” dalla radiazione solare. La pressione esercitata da un fotone su, diciamo, un elettrone può essere intesa come un trasferimento di quantità di moto dal fotone all’elettrone. Sperimentalmente, si trova che la quantità di moto di un fotone è pari a q = E/c, dove E è l’energia del fotone e c è la velocità della luce[1]. Tornando al nostro libro, esso, essendo sottoposto a due pressioni di radiazione laterali uguali e contrarie, rimane fermo.

 

 

Fig. 2. Nel pannello superiore è mostrato il libro in quiete, posto a metà strada tra due lampadine i cui raggi luminosi lo illuminano orizzontalmente. Nel pannello inferiore, il libro è mostrato come appare da un sistema di riferimento in moto verso il basso con velocità v; in questo riferimento il libro appare muoversi verso l’alto con velocità v e i raggi luminosi risultano inclinati di un angolo α rispetto all’orizzontale.

 

Poniamoci ora in un sistema di riferimento che si muova verso il basso con velocità –v (si veda la fig. 2). Il libro ci apparirà muoversi verso l’alto con velocità v. Ma questa non è l’unica differenza; a causa del fenomeno dell’aberrazione della luce, i fotoni provenienti dalle lampadine colpiscono, ora, il libro obliquamente e gli cedono la componente verticale della loro quantità di moto. Questa addizione di quantità di moto non può andare a incrementare la velocità del libro portandola ad un valore v’ > v. Se così fosse, tornando al riferimento iniziale il libro non ci apparirebbe fermo, ma dotato di una velocità verso l’alto v’ - v. Questo però non può essere perché nulla giustifica, in questo riferimento, l’acquisizione di una simile velocità da parte del libro. L’unico modo per aumentare la quantità di moto del libro senza variarne la velocità è ammettere che ad aumentare sia la sua massa, che diventa M’ > M.

Tenuto conto che ciascun fotone cede al libro la sua componente verticale di quantità di moto pari a 0.5 sin(α)E/c ≈ 0.5Ev/c2 (per il seno vale ciò che è vero per la tangente ovvero il suo valore è assai simile a quello dell’angolo stesso quando quest’ultimo è molto piccolo), dalla conservazione della quantità di moto abbiamo allora:

 

M’v = Mv + Ev/c2.

 

Dividendo tutti i membri per v e ponendo m = M’ - M, possiamo finalmente scrivere

 

E = mc2.

 

In altri termini, l’energia dei fotoni assorbita (sotto forma di calore) dal libro va ad aumentare la massa del libro stesso. Questo risultato non vale solo per l’energia elettromagnetica, ma ha carattere generale e sancisce l’equivalenza tra la massa e qualunque forma di energia.

Una conseguenza clamorosa dell’equivalenza tra massa ed energia è data dalla realizzazione delle reazioni nucleari. In particolare, la fusione dei nuclei di idrogeno, ossia i protoni, fornisce l’energia che permette al Sole di risplendere da 4,5 miliardi di anni e gli permetterà di farlo in futuro per un analogo lasso di tempo. L’alta densità (150 g/cm3) e temperatura (15.000.000 K) al centro del Sole permettono a due protoni di superare la repulsione elettrostatica e fondersi assieme a due neutroni formando nuclei di elio, ciascuno costituito, appunto, da due protoni e due neutroni. Ora, se potessimo pesare il nucleo di un atomo di elio, di massa mHe, ci accorgeremmo che è più leggero della somma dei suoi quattro componenti. In particolare, considerando che la massa di un neutrone è sostanzialmente uguale a quella del protone mp, si trova che 4mp - mHe = 0.029mp, con una percentuale di massa persa pari a (4mp - mHe)/4mp ≈ 0,007. Dunque, la trasmutazione dell’idrogeno in elio include una perdita di massa di circa 0,007 grammi per ogni grammo di idrogeno convertito. Questa massa mancante viene trasformata in una quantità di energia E tramite la formula E = mc2.

Anche se la massa mancante è piccola, l’energia prodotta è grande (grazie al grande valore di c), circa 6×1018 erg per ogni grammo di materia annichilita. Dal momento che la massa di idrogeno nel Sole ammonta a circa il 70% di quella totale (pari a M = 2×1033 g), le riserve di combustibile nucleare potrebbero permettere al Sole, nel corso della sua esistenza, di produrre una quantità di energia pari a

 

Eto t= 0,007 × 0,7 × Mc2=8,82 × 1051 erg.

 

Poiché il Sole perde energia ad un tasso pari alla sua luminosità L = 4 × 1033 erg/s, in linea di principio esso può splendere per un periodo pari a t = Etot/L ≈ 100 miliardi di anni. In verità, solo un decimo dell’idrogeno del Sole, quello che si trova nelle zone centrali, dove le condizioni sono favorevoli all’innesco delle reazioni nucleari, è destinato a trasformarsi in elio; la vita del Sole si riduce pertanto a t = 10 miliardi di anni, un lasso di tempo comunque ampiamente sufficiente a permettere l’evoluzione sulla Terra!

 


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[1] In effetti, questa formula non è formalmente molto dissimile da quella valida per una particella materiale dotata di massa m e velocità v. In questo caso, l’energia è pari a E = 0.5mv2 e la quantità di moto è q = mv = 2E/v.