Il caos
Annibale D'Ercole
Osservatorio Astronomico - Bologna

L’andamento caotico di un sistema può essere utilmente illustrato dal problema, opportunamente semplificato, dell’evoluzione di una popolazione all’interno di un determinato ecosistema. Supponiamo che in qualche luogo provvisto di consistenti risorse alimentari vi sia una colonia di prede, ad esempio conigli. Questi conigli richiamano inevitabilmente dei predatori, ad esempio volpi, il cui numero, se la caccia è buona, è destinato ad aumentare. Dal momento che il numero dei figli è proporzionale a quello dei genitori, il numero di volpi x_n+1 all’istante t_n+1 è proporzionale al numero x_n all’istante precedente t_n:

x_n+1 = k x_n, (1)

dove k è una costante. D’altra parte una crescita illimitata di volpi non è possibile perché i conigli non sarebbero sufficienti a sfamarle tutte; dunque il numero di volpi tende a diminuire quando diventa troppo grande. È ragionevole porre il tasso di riduzione x_n+1/x_n proporzionale a x_n. Assumendo per semplicità la stessa costante di proporzionalità k, possiamo scrivere

. (2)

L’andamento generale della popolazione nel tempo è dato dalla combinazione delle equazioni (1) e (2):

x_n+1= kx_n(1-x_n). (3)

L’equazione (3), detta equazione logistica, è stata introdotta nel 1845 da P.F. Verhust ed è stata utilizzata, ad esempio, per spiegare la dinamica di crescita di una popolazione e in alcuni modelli di crescita di un capitale nel tempo. Tornando alle nostre volpi, ci si aspetterebbe che il numero di predatori (e di prede) fornito dall’equazione logistica si stabilizzi su un valore di equilibrio, oppure che oscilli con regolarità attorno a tale valore. La realtà, come vedremo, è più complessa.

Fig. 3.

L’asse x della fig. 3a rappresenta l’ammontare della popolazione della generazione corrente, mentre l’asse y l’ammontare della popolazione alla generazione successiva. La parabola blu indica la relazione tra queste due popolazioni [l’equazione logistica (3)]. Come ci si aspetta, per bassi valori della popolazione corrente — a sinistra del picco della parabola — la generazione successiva cresce, mentre il contrario accade a destra del picco. La retta diagonale a 45º ci aiuta a capire come evolve una popolazione a partire da un valore iniziale S₀. Ad esempio, partendo da un basso valore di S₀, la linea a gradini rossa mostra come la popolazione cambia, generazione dopo generazione. Il valore della popolazione alla generazione successiva a quella iniziale (S₁) è dato dal punto in cui la linea verticale rossa che parte da S₀ incontra la parabola. Questo valore rappresenta ora il punto di partenza (sull’asse x) per determinare l’entità della popolazione S₂ alla successiva generazione. Per ottenere S₂ si estende orizzontalmente la linea rossa fino ad incontrare la diagonale [dal momento che lungo questa linea y = x, questa intersezione semplicemente trasforma y (la popolazione appena determinata) in x (la popolazione corrente da cui vogliamo ricavare quella successiva)], e poi si prosegue verticalmente fino ad incontrare di nuovo la parabola. Ripetendo questo procedimento numerose volte (ovvero con un processo di iterazione), si può ricavare l’andamento della popolazione al succedersi delle generazioni.

Le figg. 3a,b mostrano un caso in cui, indipendentemente dal valore di partenza piccolo (S₀) o grande (L₀), la popolazione finale si stabilizza su un valore comune (S₃=L₃). Se però si aumenta il valore di k, le cose cambiano. Aumentare k significa rendere la parabola più stretta e spostare il suo picco alla sinistra della diagonale (geometricamente k rappresenta la tangente alla parabola nell’origine, ovvero l’inclinazione della linea sottile mostrata nella figura). Nel caso particolare mostrato in fig. 3c, la popolazione non acquisisce mai un valore definitivo, ma oscilla stabilmente tra due valori ben precisi. Un ulteriore aumento di k (fig. 3d) porta al caos: la soluzione salta da un valore ad un altro (anche molto diverso) in modo imprevedibile.

Fig. 4.

Dunque, una semplice regola iterativa può portare alla stabilità, a oscillazioni, oppure al caos, a seconda del valore del parametro k, detto parametro d’ordine. Tutto questo viene riassunto nel cosiddetto diagramma di biforcazione illustrato in fig. 4. L’asse x del diagramma rappresenta i valori di k. La curva mostra il comportamento di una popolazione per ogni valore di k. Per bassi valori di quest’ultimo la popolazione assume un singolo valore ben definito (che aumenta all’aumentare di k). Al di là di k=3 la curva si biforca in due rami, e la soluzione oscilla nel tempo tra questi due valori. Un ulteriore aumento di k porta ad ulteriori biforcazioni: per k=3,5, ad esempio, la popolazione oscilla regolarmente tra quattro valori definiti. Per valori ancora maggiori di k il diagramma si confonde in un numero elevato di punti visitati dalla soluzione con una sequenza essenzialmente imprevedibile. Questa è la regione caotica. Si noti che ciò che avviene su larga scala (un ramo che si biforca in due, e poi in quattro, ecc.) lo si ritrova anche a scale minori (come si nota in fig. 5, che mostra ingrandimenti successivi di una regione del diagramma principale in fig. 4). Per quanto piccola sia la regione considerata, al suo interno si ritrovano sempre le stesse strutture presenti su scala maggiore. Oggetti geometrici di questo genere — in cui una parte, per quanto piccola, è simile al tutto — vengono detti frattali, e ce ne occuperemo nel prossimo numero.

Fig. 5.

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