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La forza mareale
Annibale
D’Ercole
Per capire
come la Luna provochi le maree terrestri consideriamo la forza di gravità che
il nostro satellite esercita sulla Terra. Per semplicità fissiamo
l’attenzione su due punti particolari della superficie terrestre, entrambi
posti sulla linea congiungente i due corpi celesti (indicati con le lettere A
e B nel pannello a della Fig.
1). Se d è la distanza tra i centri di Terra e Luna ed R è il raggio della
Terra, possiamo scrivere la forza esercitata dalla Luna su due particelle di
massa m poste nei punti A e B come: , , dove G è la
costante gravitazionale e ML la massa della Luna. In ogni punto
della superficie la forza mareale è determinata dalla differenza tra la forza
di gravità della Luna esercitata in quel punto e quella esercitata al centro
della Terra. Dunque la forza di marea nel punto A della Fig. 1 è data da: , dove x = R/d
e l’ultimo passaggio è stato ottenuto in base al fatto che R << d. (Sviluppando
l’espressione in parentesi si ottiene (2x - x2) / (1 - 2x + x2);
dal momento che x è molto minore di 1, abbiamo x2 << x
<< 1, e la formula precedente può approssimarsi come ~2x = 2R/d.) Come si può notare, la forza mareale è una
frazione 2R/d = 0,034 della forza con cui la Luna attrae a sé la Terra. Si
può facilmente dimostrare che DFb = -DFa.
La Fig. 1 in effetti mostra che,
mentre i vettori che rappresentano la gravità lunare sono tutti diretti verso
il centro del nostro satellite, la forza mareale “stira” la Terra
simmetricamente rispetto al suo centro lungo la direzione Terra-Luna,
producendo due rigonfiamenti mareali. Questa stessa figura mostra anche che
la forza mareale diventa compressiva lateralmente – dove si creano le basse
maree – favorendo ulteriormente la formazione dei rigonfiamenti. Data la
posizione simmetrica di questi ultimi, si producono due alte maree in un
periodo di 24 ore e 50 minuti. In effetti, nel tempo che la Terra impiega a
fare un giro completo su se stessa, la Luna compie un piccolo tratto lungo la
sua orbita; dunque, la Terra deve ruotare un poco più di 360° affinché un
dato punto su di essa torni a stare in direzione della Luna: questo spiega
perché il periodo delle due maree è maggiore di 24 ore. In
verità, i rigonfiamenti mareali non sono direttamente allineati con la Luna
come mostrato in Fig. 1. Questo
avviene perché il periodo di rotazione terrestre è inferiore al periodo
orbitale del nostro satellite e la Luna tende a rimanere “indietro”, come
mostrato in Fig. 2. Questo
disallineamento produce alcuni effetti oggi ben misurabili, come il
rallentamento della rotazione terrestre e l’allontanamento della Luna.
Vediamo in dettaglio ognuno di questi effetti. Fig. 2 – Uno
dei due rigonfiamenti mareali è più vicino dell’altro alla Luna. La forza
gravitazionale esercitata dalla Luna su di essi è dunque diversa e si
realizza una coppia torcente che tende a rallentare la rotazione terrestre. Rallentamento della rotazione terrestre La Fig. 2 mostra come i due rigonfiamenti
mareali interagiscono gravitazionalmente con la Luna: il rigonfiamento più
vicino tende, come abbiamo detto, a sopravanzare il nostro satellite, ma ne
subisce l’azione frenante a causa del richiamo gravitazionale (freccia
azzurra lunga). Naturalmente la Luna agisce anche sul rigonfiamento più distante
(freccia azzurra corta) stimolando, in questo caso, un’accelerazione;
tuttavia, a causa della maggiore distanza, quest’ultimo effetto è inferiore
al primo e il risultato netto è un rallentamento della rotazione
dell’ellissoide mareale. Dunque, parti diverse della Terra, ruotando più
velocemente dei rigonfiamenti, attraversano i rigonfiamenti stessi. Pertanto,
strati superficiali sempre diversi della Terra vengono continuamente
“stirati” e deformati. L’attrito che si genera in questo processo dissipa in
calore parte dell’energia cinetica di rotazione terrestre; il nostro pianeta
riduce progressivamente la sua velocità di rotazione e il giorno si allunga
al tasso attuale di 0,0016 secondi ogni secolo. Allontanamento della Luna Abbiamo
visto che la rotazione dei due lobi mareali terrestri viene rallentata dal
nostro satellite; per il principio di azione e reazione è altresì vero che la
Luna tende ad essere “trainata” da questo rigonfiamento (freccia rossa lunga
nella Fig. 2). Questo provoca un
aumento progressivo della distanza Terra-Luna. Per capire
il perché di questo effetto procediamo per passi temporali successivi.
Inizialmente la Luna è su un’orbita stabile con velocità u a distanza r dalla Terra: questo significa
che, in un riferimento rotante con la Luna, l’azione gravitazionale
esercitata dalla Terra, Fg = GMm/r2, è bilanciata dalla forza centrifuga Fc = Mmu2/r, dove G è la costante gravitazionale ed M
ed m sono, rispettivamente, la massa della Terra e della Luna. A causa del
traino del rigonfiamento mareale più vicino, la Luna tende ad accrescere la
sua velocità; Fc pertanto aumenta,
prevalendo sulla gravità terrestre e spingendo la Luna ad una distanza
maggiore. Nell’allontanarsi dalla Terra il nostro satellite accresce la
propria energia potenziale U = -GMm/r e deve
pertanto diminuire la sua energia cinetica T = 0.5mu2
poiché, durante questa fase, l’energia totale E = U + T rimane costante
(analogamente a quello che succede quando lanciamo un sasso in aria). La Luna
dunque si assesta su una nuova orbita stabile ad r’ > r, e u’ < u.
L’intero processo a questo punto riprende provocando un ulteriore nuovo
allontanamento. Naturalmente,
la descrizione del fenomeno in passi discreti successivi rappresenta un
artificio operato a scopo illustrativo; in realtà l’allontanamento della Luna
avviene in maniera continua al tasso odierno di 3-4 centimetri all’anno. Vale
la pena sottolineare che, come è stato accennato nel livello base, questo
fenomeno può essere spiegato in termini di conservazione del momento angolare
totale, piuttosto che in termini di forze e di energia, come abbiamo fatto
qui. |