La relazione massa-luminosità delle stelle
Annibale D'Ercole
Osservatorio Astronomico - Bologna

La relazione tra luminosità e massa di una stella non deriva da specifici meccanismi di evoluzione stellare, ma riposa su tre processi fisici del tutto generali che trovano applicazione in campi assai diversi tra loro. Essi sono: 1) la cosiddetta radiazione di corpo nero, ovvero l’energia radiante emessa da un corpo caldo; 2) il cammino casuale, legato a tutti i processi di diffusione, come ad esempio quello delle molecole di zucchero in una tazza di the; 3) l’equilibrio idrostatico, che regola la stabilità di una stella, ma anche quella dell’atmosfera terrestre. Esaminiamo ora, singolarmente, ciascuno di questi tre punti.

 

1) Un corpo caldo emette radiazione, com’è facile verificare osservando il filamento di una lampadina o di una stufa elettrica. Naturalmente, maggiore è la temperatura T del corpo, maggiore è la radiazione prodotta.

Consideriamo una sfera cava (la geometria sferica non è importante, ma viene assunta per semplicità) le cui pareti siano tenute ad una fissata temperatura. La radiazione all’interno della sfera viene continuamente assorbita e riemessa dalle pareti. Si può mostrare, sulla base di sole argomentazioni termodinamiche di carattere generale, che la densità di energia radiante (ovvero l’energia di radiazione contenuta in un centimetro cubo) dipende solo dalla temperatura e non da altri fattori, quali la forma della cavità, il materiale della sfera, le modalità di riscaldamento, ecc.

Nel 1879 il fisico austriaco Josef Stefan formulò la legge che porta il suo nome e che stabilisce che la densità di energia è proporzionale alla quarta potenza della temperatura, ovvero µ T 4. Questo significa che, se consideriamo due cavità identiche, ma con temperature una doppia dell’altra, quella con temperatura maggiore produrrà non 2, ma 16 (24) volte più energia. Queste considerazioni valgono anche se la sfera è piena (e non è cava) e la radiazione è data da fotoni che vengono continuamente assorbiti e riemessi dagli atomi che compongono la sfera stessa (come avviene in una stella). In conclusione, una sfera di raggio R (e dunque volume proporzionale a R3) e temperatura T conterrà un’energia E proporzionale a:

 

.       (1)

 

 

2) Passiamo ora a considerare come la radiazione prodotta al centro di una stella si propaga fino alla superficie interagendo con il gas della stella stessa.

La situazione è analoga a quella che si verifica se lasciamo cadere una goccia di inchiostro in un vaso pieno d’acqua: notiamo che l’inchiostro lentamente si diffonde in tutto il volume disponibile. Ogni singola molecola di inchiostro va avanti e indietro a causa degli urti casuali con le molecole d’acqua, ma questo non significa che mediamente tende a rimanere nella posizione di partenza. Al contrario, l’effetto netto è la perdita di identità della goccia e uno “sparpagliamento” delle sue particelle a distanze sempre maggiori. Si può dimostrare (si veda l’Appendice) che la distanza complessiva R percorsa dopo N urti casuali, separati da una distanza gli uni dagli altri, è mediamente:

 

.            (2)

 

Applichiamo ora questo risultato, del tutto generale, al caso di una stella di massa M e di raggio R. I fotoni vengono generati dalle reazioni nucleari al centro della stella. Se il gas fosse assolutamente trasparente, il tempo impiegato da un fotone per raggiungere la superficie sarebbe τ = R/c, dove c è la velocità della luce. In realtà, il gas risulta opaco e il fotone compie N urti con gli atomi del gas (ovvero, viene assorbito e riemesso N volte) prima di giungere in superficie. Il tempo impiegato per fuoriuscire dalla stella è dunque

 

τ = Nℓ/c,

 

dove è il cammino libero medio ovvero la distanza media tra gli atomi. Tenendo conto dell’equazione (2), si ha

 

τ = R 2/ℓc.

 

La distanza è, evidentemente, inversamente proporzionale alla densità del gas, in quanto gli atomi sono tanto più vicini quanto maggiore è il loro affollamento. Indicando con ρ µ M/R 3 la densità della stella, abbiamo dunque

 

µ 1/ρ µ R 3/M

 

e possiamo finalmente scrivere:

 

τ µ M/R.            (3)

 

 

 

Fig. 1. Percorso erratico di un fotone all’interno di una stella.

 

 

3) Una stella è una sfera di gas autogravitante in equilibrio idrostatico. Cosa significa?

Un qualunque elemento di gas della stella tende a cadere verso il centro perché attratto dalla forza di gravità della stella stessa. D’altra parte, lo stesso elemento di gas , essendo caldo, tende a “evaporare via”, tende cioè a espandersi e allontanarsi dalla stella. Queste due opposte tendenze si annullano a vicenda e la stella rimane in equilibrio stabile.

Vediamo quale relazione deve intercorrere tra massa, raggio e temperatura stellari affinché si possa realizzare questo equilibrio. Un elemento di gas di massa m possiede un’energia termica ET proporzionale alla temperatura T oltre che alla sua stessa massa (una quantità di materia doppia possiede infatti una doppia quantità di calore):

 

ET µ mT.

 

Esso possiede anche un’energia gravitazionale EG che dà una misura di quanto intensamente l’elemento è legato gravitazionalmente alla stella (in effetti l’energia gravitazionale di tale elemento è definita come l’energia che è necessario fornire per spostarlo all’infinito vincendo l’azione contraria della forza di gravità). Risulta evidente che l’energia gravitazionale è tanto maggiore quanto maggiore è la massa M della stella e/o la massa m dell’elemento perché, com’è noto, la gravità che si esercita tra questi due oggetti è proporzionale al prodotto mM. Sempre in base alla legge della gravità di Newton, possiamo dire che gli elementi di gas sono legati tanto più debolmente quanto più è grande il raggio R della stella, poiché la gravità diminuisce con la distanza. In conclusione, si può facilmente dimostrare che per l’energia gravitazionale vale

 

EG µ mM/R.

 

L’equilibrio idrostatico impone che l’energia termica e gravitazionale siano proporzionali l’una all’altra. Dalla condizione ET µ EG si ottiene, pertanto:

 

T µ M/R.             (4)

 

Siamo ora in grado di ricavare la relazione tra luminosità e massa di una stella di sequenza principale. La luminosità L indica la rapidità con cui la stella perde la sua energia di radiazione E, in altri termini L E/τ, dove τ è il tempo caratteristico di fuoriuscita della radiazione della stella. Tenuto conto delle equazioni (1), (3) e (4) si ha:

 

L µ M 3.

 

Dunque, l’utilizzo di argomenti del tutto generali permette di dimostrare che la luminosità di una stella dipende, sostanzialmente, solo dalla sua massa secondo una legge di potenza.

Nonostante le semplificazioni operate, la relazione tra luminosità e massa ottenuta è molto simile a quella osservata L µ M 3.5. In verità, nel trattare la propagazione di energia attraverso la stella, abbiamo assunto che essa avvenga per trasporto radiativo ovvero per diffusione di fotoni, come discusso più sopra. In realtà, benché meno importante, è presente anche il fenomeno della convezione (del tutto simile a quello che si verifica in una pentola d’acqua che bolle) che contribuisce al trasporto di energie mediante correnti ascensionali di gas caldo e giustifica la differenza tra il risultato ottenuto e la relazione osservativa.

 

 

Appendice: il cammino casuale

 

Consideriamo un semplice esempio unidimensionale. Un uomo è posizionato inizialmente nel punto xo = 0 e si muove di volta in volta di un passo di lunghezza ℓ verso destra o verso sinistra a seconda dell’esito del lancio di una moneta: se, ad esempio, si realizza testa, si muove verso destra (in direzione delle x positive), altrimenti verso sinistra (x negative). Dal momento che le probabilità che venga testa sono uguali a quelle che venga croce, ci si aspetta che dopo N lanci siano avvenuti tanti spostamenti verso destra quanti verso sinistra e che, quindi, lo spostamento medio sia nullo (`xo = 0). Questo, tuttavia, non significa che l’uomo sia rimasto in xo!

Una buona misura dell’allontanamento dalla posizione iniziale xo = 0 è data dal valor medio del quadrato della posizione xn occupata dopo n lanci (il quadrato è sempre positivo e quindi la sua media non può essere nulla). Questa posizione può essere scritta come

 

xn = xn-1 + Sℓ.

 

S = ±1 rappresenta il segno dettato dal lancio della moneta (p.e. S = 1 per testa e S = -1 per croce): dunque si giunge in xn dopo essersi mossi di un passo dalla posizione xn-1 raggiunta dopo n-1 lanci. Se ora facciamo il quadrato di xn abbiamo:

 

.

 

Passiamo ora alla media, tenendo conto che, ovviamente, il valor medio di S è nullo e quello del suo quadrato vale 1 (ovvero `S = 0 e `S 2 = 1):

 

.

 

Questa è una relazione ricursiva, ovvero

 

 e così via.

 

A seguito di N successive sostituzioni possiamo allora scrivere:

 

 

 

In conclusione, la distanza R percorsa dopo N passi casuali ℓ è mediamente:

 

.

 


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