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L’aberrazione annua della luce
Claudio
Elidoro
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L’analisi del fenomeno
dell’aberrazione della luce può essere una ghiotta occasione per fare qualche
‘piccolo conto’ astronomico con il semplice aiuto
di una calcolatrice. Un primo calcolo che possiamo fare prende direttamente le
mosse dal valore dell’aberrazione della luce trovato da Bradley. Partendo dal
valore di 20,50 secondi d’arco possiamo ottenere facilmente quanto vale il
rapporto tra la velocità con la quale la Terra si muove intorno al Sole e la
velocità della luce. Per fare questo è sufficiente calcolare il valore della
tangente di un angolo con ampiezza di 20,50 secondi. Una qualunque calcolatrice scientifica
ci permette di ottenere che: v
/ c = 0,000099387. Da questo risultato possiamo ricavare v semplicemente assumendo per c il valore di 299800 km/s. La nostra fidata calcolatrice ci
suggerisce che v = 29,79 km/s. Spulciando nei libri di astronomia
possiamo verificare che il valore ottenuto è quello giusto. E questo ci
spinge a continuare i nostri calcoli. Ammettiamo per comodità di calcolo che
l’orbita (C) percorsa dalla Terra sia circolare. Poiché sappiamo che
quest’orbita viene percorsa in 365 giorni (cioè 31.536.000 secondi) possiamo
ricavare la sua lunghezza. Avremo dunque: C = v
x t = 29,79 x 31536000 = A questo punto siamo anche in grado di
calcolare il raggio di questa orbita, vale a dire la distanza Terra-Sole
(detta anche Unità Astronomica): R
= C / 2p = Dato che anche questo valore si
dimostra in ottimo accordo con quanto riportano i testi astronomici, possiamo
anche lasciare che la smania da calcoli ci prenda la mano e puntiamo decisi
in alto. Obiettivo: calcolare la massa del Sole. Il modello che consideriamo è ancora
quello della Terra in orbita circolare intorno al Sole. In tale situazione
l’attrazione gravitazionale è controbilanciata dalla forza centrifuga. In
formule:
Il termine a sinistra del segno uguale
nella (1) è l’espressione dell’attrazione gravitazionale descritta dalla
Legge di gravitazione universale. G è la costante di gravitazione
universale ed R la distanza tra le due masse (Sole e Terra). Nel
termine di destra (interpretabile come F = m x a ) compare l’espressione
dell’accelerazione nel moto circolare uniforme. Riscriviamo la (1)
eliminando in entrambi i membri MTerra ed esprimendo la forza centrifuga in
termini di periodo (T) anziché di velocità angolare (w) tenendo conto che w = 2p
/ T. Otteniamo
così:
Da cui:
Ricorriamo ancora alla calcolatrice,
facendo però molta attenzione alle unità di misura. Per agevolare il compito dei più pigri
(e per dare modo ai più volonterosi di verificare le proprie scelte)
riportiamo per esteso le grandezze da impiegare nel calcolo, sottolineando
che si è fatto ricorso ad unità di misura cgs: R @ 1,49 x
Lasciamo il compito del calcolo al
lettore e ci permettiamo unicamente di suggerire il risultato finale apparso
sul display della nostra calcolatrice:
MSole = 1,96 x Il fidato testo di astronomia già
consultato in precedenza confermerà ancora una volta la bontà della nostra
approssimazione. A questo punto, però, è bene fermarsi
e lasciar riposare la fidata calcolatrice.
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