Entropia e irreversibilità
Annibale D'Ercole
Osservatorio Astronomico - Bologna
 
Sarebbe velleitario voler esporre con coerenza in uno spazio ristretto e in maniera semidivulgativa argomenti, sia pure limitati, di meccanica statistica.
Noi qui ci limitiamo a dare un’idea del tipo di ragionamenti che vengono adottati in questo campo, senza alcuna pretesa di rigore o completezza.

Consideriamo un recipiente inizialmente suddiviso in due metà ed immaginiamo di lanciarvi dentro, a caso, dieci palline.  E' chiaro che la distribuzione finale più probabile è quella in cui vi sono cinque palline in ciascuna delle due metà.  Al contrario, è molto improbabile che tutte le palline vadano a finire in una sola metà, a meno che non vi siano lanciate intenzionalmente. 

Per rendere quantitative queste intuizioni dobbiamo considerare il calcolo delle probabilità.
Con N = 1 palline, si hanno P = 2 possibilità, che la pallina cada a sinistra (S) o a destra (D), ognuna delle quali ha un solo modo, n = 1, di verificarsi.  Per definizione, ognuna di queste possibilità ha probabilità p = n/P = 1/2  di realizzarsi, in modo che la somma di tutte le probabilità sia 1.
Con 2 palline, vi sono P = 4 possibilità: (S,S), (S,D), (D,S), (D,D).  In questo caso, la possibilità di avere una pallina in ciascuna metà si realizza in n = 2 modi diversi, e la probabilità che si verifichi è pari a  p = n/P = 2/4 = 1/2.  Le probabilità di avere entrambe le palline a destra oppure a sinistra sono uguali e pari a   p = 1/4.
E' facile verificare che con N = 3 palline la probabilità di averle tutte, ad esempio, a sinistra (oppure a destra), è p = 1/23 = 1/8.
In generale, dopo aver lanciato N palline, la distribuzione realizzata è caratterizzata dai numeri ns e nd delle palline contenute della metà sinistra e destra, e dalla probabilità 1/2 legata alla possibilità della singola pallina di cadere a destra o sinistra.

Si può dimostrare che la probabilità per questa distribuzione è

dove il numero fattoriale è definito come N! = 1 x 2 x 3 x ... x N (con la convenzione 0!=1 ).
Se dunque un gas fosse composto da sole N = 10  molecole, la probabilità di essere confinato in una sola metà del recipiente (ns=0 e nd=10 oppure ns=10 e nd=0) sarebbe p = 1/210 ~ 10-3.
La distribuzione uniforme (ns = nd = 5) risulta molto più probabile, con

In un centimetro cubo di aria a pressione atmosferica vi sono circa N = 1019 molecole.
Data l'enormità di questo numero, le formule precedenti ci dicono che la possibilità che il gas si ritiri spontaneamente in metà recipiente è virtualmente assente, mentre possiamo avere una certezza pressoché assoluta che un gas inizialmente compresso in metà recipiente andrà a riempirlo tutto.
Boltzmann collegò questo comportamento microscopico all’andamento dell’entropia S secondo la relazione S=k ln p.
In parole, l’entropia di un sistema fisico macroscopico è proporzionale al logaritmo naturale della probabilità di realizzazione della distribuzione di atomi che dà luogo al verificarsi di tale sistema. La costante di proporzionalità k è detta costante di Boltzmann. 
Questa formula compare sulla tomba di Boltzmann a Vienna.

 
 
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