Sulla massa delle galassie
Annibale D’Ercole

Consideriamo una nube autogravitante in equilibrio, in cui, cioè, la propria forza di gravità sia bilanciata dalla pressione dovuta all’energia termica del gas. [Per semplicità trascuriamo la presenza di un alone di material oscura.] Questa energia termica è data dall’energia cinetica delle particelle che compongono il gas: maggiore è l’energia cinetica, maggiore è la temperatura. Dalla meccanica statistica sappiamo che l’energia media di una singola particella può essere espressa come kT, dove k è la costante di Boltzmann e T è la temperatura della nube. D’altra parte, l’energia potenziale di questa stessa particella, ad esempio un protone, si può scrivere come GMm_p/R, dove G è la costante di gravitazione, m_p la massa del protone, M la massa della nube (assunta sferica) ed R il suo raggio. In una nube in equilibrio si ha pertanto:

(1)

[Qui siamo interessati solo a considerazioni di ordine di grandezza e a mettere in luce gli aspetti fisici dei meccanismi esposti, piuttosto che le procedure matematiche necessarie per descriverli (peraltro troppo complesse in questo ambito). Per questo motivo le costanti numeriche dell’ordine dell’unità vengono trascurate.]

Date le masse caratteristiche delle nubi protogalattiche, l’energia di ogni singola particella è assai superiore all’energia necessaria per ionizzare l’idrogeno collisionalmente:

(2)

Il termine a destra della disuguaglianza rappresenta il potenziale di ionizzazione dell’idrogeno, ed è espresso in termini della massa m_e e della carica q dell’elettrone, e della costante di Plank h. In base a quanto appena detto possiamo dunque considerare la nube (che per semplicità assumiamo composta solamente da idrogeno) completamente ionizzata.

Come abbiamo detto nel livello base, una nube autogravitante tende a porsi in equilibrio. Tuttavia è possibile che questo equilibrio venga spezzato a causa delle perdite radiative. Perché questo possa avvenire, è necessario che t_r £ t_c, ovvero che il tempo di raffreddamento sia inferiore al tempo di collasso, cioè al tempo impiegato dalla nube ad addensarsi al centro; in questo caso, infatti, il calore prodotto dalla compressione viene irraggiato rapidamente, invece di essere “incamerato” dal gas, e la compressione può procedere ulteriormente.

Per capire, dunque, sotto quali condizioni sia possibile la formazione di una galassia, è necessario calcolare esplicitamente i tempi t_c e t_r.

Calcolo di t_r - La quantità di energia L emessa nell’unità di tempo da un elettrone sottoposto ad un accelerazione a è data dalla formula di Larmor

dove q è la carica dell’elettrone e c è la velocità della luce.

Dal momento che, come abbiamo visto, il gas è ionizzato, gli elettroni si muovono liberamente tra i protoni. Consideriamo allora un elettrone dotato velocità u che giunge in prossimità di un protone. Arrivato a una distanza b da quest’ultimo, l’elettrone risente della forza attrattiva di Coulomb che si esercita tra le due particelle, la cui intensità è dell’ordine di m_ea ~ (q²/b²), e subisce dunque un’accelerazione a ~ (q²/m_eb²). La formula di Larmor diventa quindi L ~ (q⁶/m_e²c³)(1/b⁴). Per ottenere L_t , l’energia totale irraggiata per unità di volume, è necessario tenere conto della densità di elettroni n_e e di protoni n_p, e dei contributi che provengono dalle diverse distanze b. Il calcolo esatto è troppo complesso per poter essere riportato in queste note; un calcolo approssimato, benché più abbordabile, ci porterebbe lontano dall’argomento di queste “spigolature”. Ci limitiamo pertanto a riportare l’espressione per L_t senza ulteriori commenti:

L’irraggiamento appena descritto, dovuto a un gas caldo ionizzato, è detto “radiazione di bremsstrahlung”.

Il tempo di raffreddamento è definito come il tempo necessario per irraggiare tutta l’energia termica. Avendo assunto un gas di puro idrogeno, possiamo scrivere n_i = n_e = n; l’energia termica per unità di volume è allora pari a nkT e il tempo di raffreddamento è dato da

Calcolo di t_c - Consideriamo una nube “fredda”, ovvero la cui energia termica sia trascurabile rispetto a quella gravitazionale. In questo caso la nube tenderà a contrarsi sotto il suo stesso peso senza che la pressione del gas possa esercitare alcun contrasto. Si dice allora che la nube “collassa”, e gli strati più esterni precipitano verso il centro in caduta libera. Com’è noto, nella vita quotidiana un oggetto lasciato cadere liberamente è soggetto ad un’accelerazione costante g e percorre, in un tempo t, una distanza r = 0.5gt². Ribaltando questa formula, possiamo dire che il tempo impiegato da un oggetto per cadere in terra da un’altezza r è pari a t = (2r/g)^1/2. Tornando alla nostra nube, un elemento di gas posto alla sua superficie è sottoposto ad una accelerazione a = GM/R²; questa accelerazione non è costante perché R diminuisce man mano che il collasso procede. Tuttavia, noi siamo interessati solo a valutazioni di ordini di grandezza e dunque applichiamo ugualmente la formula per il tempo di caduta ricavata più sopra. Otteniamo pertanto per il tempo di collasso la seguente espressione:

.

Dalla condizione t_r < t_c ricaviamo

Se ora consideriamo una nube con raggio pari a R_cr e teniamo conto delle equazioni (1) e (2), otteniamo finalmente la seguente condizione:

M_�.

Questo risultato indica che una nube con massa ~ 10¹¹ M_� e raggio ~ 70 kpc può raffreddare rapidamente e formare strutture legate gravitazionalmente. Durante questa fase la nube si contrae fino a un raggio dell’ordine di 10-20 kpc, tipico delle galassie più grandi. Quello appena descritto rappresenta dunque un possibile scenario per la formazione delle galassie, dal momento che molte galassie hanno una massa dell’ordine di M_cr. Si noti che M_cr e R_cr derivano unicamente dalle costanti fondamentali della fisica.

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