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Il principio di indeterminazione
Annibale D’Ercole

 

Consideriamo un raggio luminoso emesso da una sorgente, ad esempio un laser. Com’è noto, la luce del laser è composta da un’onda elettromagnetica monocromatica, ovvero da oscillazioni del campo elettrico (e magnetico) di una precisa lunghezza d’onda l che si propagano lungo la direzione del raggio luminoso. La Fig. 1 rappresenta una “istantanea” a un determinato tempo del valore del campo elettrico lungo la direzione di propagazione, con l’ampiezza A che indica il massimo valore (positivo o negativo) assunto dal campo stesso. Questo andamento può essere descritto semplicemente dalla funzione armonica seno:

 

Y(x) = Asin(kx)                                 (1)

 

Il numero d’onda k è definito come k = 2p/l. Y(x) è ovviamente una funzione periodica: in particolare, essa si annulla nei punti x = np/k, dove n=0,1,2,… assume solo valori interi. Questi punti vengono detti “nodi”, e sono individuati in Fig. 1 [livello base] dall’intersezione di Y(x) con l’asse x.

 



Fig. 3. Esempi di interferenza.

È interessante vedere che succede quando due onde interferiscono, ovvero si sovrappongono durante il loro percorso. Lo schema in alto nella Fig. 3 rappresenta due onde armoniche di pari ampiezza e lunghezza d’onda (le due curve rosse e blu) sfasate in maniera tale che i massimi di una si trovano in corrispondenza dei minimi dell’altra. In questo caso la somma delle due onde dà luogo a un’onda risultante ovunque nulla: in altre parole le due onde interferiscono distruttivamente. Lo schema intermedio in Fig. 3 illustra l’interferenza di due onde di pari ampiezza e lunghezza d’onda nel caso in cui i massimi e i minimi di una siano posizionati in corrispondenza dei massimi e minimi dell’altra. In questo caso le due onde interferiscono ovunque positivamente dando luogo a un’onda di stessa lunghezza d’onda, ma di ampiezza doppia (indicata dalla linea nera spessa). Più interessante è il caso mostrato dallo schema in basso di Fig. 3 in cui viene illustrata l’interferenza tra due onde di pari ampiezza, ma con lunghezze d’onda (e dunque numeri d’onda) un poco diverse. L’onda risultante è data da

 

Y(x) = Asin(k1x) + Asin(k2x) = 2Acos[0.5(k1-k2)x]sin[0.5(k1+k2)x],      (2)

 

dove l’ultimo passaggio è stato ottenuto in base alle formule di prostaferesi. In Fig. 3 le curve rossa e blu rappresentano le onde con numero d’onda k1 e k2, mentre la curva nera spessa illustra l’andamento di Y(x). Il fattore sinusoidale in Eq. (2) rappresenta un’onda molto simile a quelle originali, con un numero d’onda dato dalla media dei valori delle due onde. Il fattore cosinusoidale ha una lunghezza d’onda lc = 2p/Dk, con Dk = k1-k2; esso dunque varia assai più lentamente dell’altro e può essere considerato come un’ampiezza variabile. Come risultante abbiamo dunque un’onda che ha circa la stessa lunghezza, ma la cui ampiezza varia con x. La linea punteggiata in Fig. 3 rappresenta la curva 2Acos[0.5(k1-k2)x], mentre la linea tratteggiata è simmetrica di questa rispetto all’asse x. Y(x) si svolge tra le due, toccando alternativamente l’una o l’altra. Sottolineiamo come, contrariamente al caso dell’onda armonica, qui le oscillazioni tendono a raggrupparsi in una serie di “pacchetti”, ognuno dei quali ha una estensione Dx = lc/2; ne segue dunque la relazione

 

DxDk=p.                                               (3)

 

Riprenderemo tra poco questa importante relazione. Per il momento torniamo alla sorgente luminosa dell’esempio da cui siamo partiti. Supponiamo questa volta che tale sorgente rimanga accesa per un tempo brevissimo, in modo da emettere un impulso luminoso simile al flash delle macchine fotografiche. Se a un dato istante potessimo osservare le oscillazioni del campo elettrico dell’impulso luminoso, vedremmo qualcosa di simile a quanto rappresentato in Fig. 4.

 

 

 

Fig. 4. Pacchetto d’onda gaussiano.

 

Le oscillazioni sono assenti a grandi valori di x perché la radiazione non vi è ancora giunta, ma sono assenti anche “alle spalle” dell’impulso luminoso perché nessuna radiazione è stata più emessa successivamente. Dunque tale impulso è descritto da un unico pacchetto d’onda simile a quello mostrato in Fig. 4, e che può essere descritto come la sovrapposizione di un gran numero (al limite infinito) di onde armoniche di diversa ampiezza e lunghezza d’onda, tali per cui esse interferiscono distruttivamente ovunque, tranne che in una ristretta regione dove è localizzato l’impulso luminoso (teorema di Fourier). Una misura dell’estensione Dx di questa regione è data, ad esempio, dalla larghezza a mezza altezza della “campana” che sagoma il profilo del pacchetto (si veda la Fig. 4). Si può dimostrare che anche per questo generico pacchetto vale una relazione simile all’Eq. (3):

 

DxDk=p.                                               (3)

dove Dk rappresenta l’intervallo di valori dei numeri d’onda assunti dalle onde armoniche che compongono il pacchetto. Dunque, tanto più la posizione del pacchetto è localizzata, ovvero il pacchetto è stretto, maggiore è il numero di armoniche (coprendo, nel loro insieme, un intervallo Dk maggiore). Al contrario, un pacchetto molto esteso è composto da un minor numero di armoniche: al limite, esso coincide con una singola armonica nel caso di un’estensione infinita.

E veniamo, finalmente, al collegamento tra la meccanica quantistica e quanto abbiamo esposto finora. Nel 1905, nel corso dei suoi studi sull’effetto fotoelettrico, Einstein introdusse il concetto di fotone (vedi in questa rubrica nel n. 2, 2000, p. 63). Ci sono dei fenomeni – come l’effetto fotoelettrico, appunto – che possono essere compresi solo abbandonando l’interpretazione ondulatoria classica della radiazione e ammettendo che essa possa essere descritta come uno “sciame” di fotoni, microscopiche particelle di energia E = hn (qui h rappresenta la costante di Plank e n la frequenza della radiazione). Già in fisica classica era noto che la radiazione possiede una quantità di moto – o impulso – che può eventualmente essere ceduto alle particelle con cui la radiazione si trovi a interagire (un esempio spettacolare è dato dal gas delle code cometarie rosse che viene soffiato via dalla radiazione solare che trasferisce ad esso parte del proprio impulso). Dagli esperimenti risulta che l’impulso p associato ad un singolo fotone è pari a

 

p = hn/c = h/l.

 

Le esperienze di laboratorio di interferenza degli elettroni descritte nella sezione precedente (il livello base di questa rubrica) hanno mostrato che l’ambivalenza onda-particella, già scoperta per la radiazione, deve valere anche per la materia. Per questo motivo, nel 1924 Louis-Victor Pierre de Broglie (1892-1987) ipotizzò, in analogia al fotone, che anche l’elettrone potesse essere descritto da una funzione oscillante, la funzione d’onda Y(x), la cui lunghezza d’onda, per un elettrone di impulso p, sia l = h/p. Cosa fosse a oscillare in relazione ad un elettrone rimase oscuro fino al 1927, quando Max Born (1882-1970) propose che Y(x) (o meglio, il suo modulo quadrato) rappresenti la probabilità di trovare l’elettrone nel punto x: in questa interpretazione, nell’esperienza dell’interferenza elettronica l’onda di probabilità di un singolo elettrone “attraversa” entrambe le fenditure e le frange luminose si formano nei punti dove è massima la probabilità di trovare un elettrone, ovvero dove la funzione d’onda interferisce costruttivamente.

Tuttavia, in un qualunque esperimento, un elettrone è confinato in un volume limitato all’interno della strumentazione adoperata. Di conseguenza, la sua funzione d’onda non può essere descritta da una singola armonica di lunghezza d’onda l, che invece si estende in tutto lo spazio. Piuttosto, Y(x) deve essere rappresentata da un pacchetto d’onda come quello illustrato in Fig. 4. Deve dunque valere anche in questo caso l’Eq. (4) che, tenuto conto della relazione tra impulso e lunghezza d’onda, può essere scritta come

DxDp » h,               (4)

con h = h/2p. Questa formula rappresenta il celebre principio di indeterminazione enunciato da Werner Heisemberg nel 1927 e stabilisce che non è possibile misurare con grande precisione contemporaneamente l’impulso e la posizione di una particella dal momento che, se l’incertezza Dx sulla posizione è piccola, l’incertezza Dp sull’impulso deve essere grande, e viceversa.

 


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